دروس في الاحصاء الوصفي

عرفنا في الفصل السابق أن مقاييس النزعة المركزية (من متوسط ووسيط ومنوال) تسمح لنا بالحصول على القيم المتوسطة للبيانات أو على تجمعها، غير أن هذه المقاييس لا تكفي لوحدها لمعرفة الصفات الإحصائية اللازمة لوصف الظواهر، لأن الفروق بين قيم الظواهر قد تزداد أو تنقص رغم تساوي المتوسطات لهذه الظواهر، ولتوضيح ما سبق نفترض أن طالبين تحصلا على النتائج التالية في خمس مواد دراسية:
الطالب (X): 15،14،13،11،10.
الطالب (Y):18،15،13،9،8.
فمتوسط درجات الطالب (X) يساوي 12،6 وكذلك متوسط درجات الطالب (Y) يساوي 12،6 ووسيط درجات الطالب (X) يساوي 13 وكذلك وسيط درجات الطالب (Y) يساوي 13.
قد يفهم مما سبق أن الطالبين (X)و (Y) لهما نفس المستوى غير أن التمعن الجيد في الدرجات التي تحصل عليها الطالبين تبين أن الطالب (X) ناجح في كل المواد المدروسة في حين أن الطالب (Y) ناجح في ثلاث مواد فقط. إن هذه الحقيقية تبين أن مقاييس النزعة المركزية لا تعطي فكرة وافية عن اختلاف قيم الظواهر، ولا تحقق كل الأغراض التي نرغب الوصول إليها من دراستنا لذلك فإن مقاييس النزعة المركزية لا بد أن تكون مصحوبة بمقاييس أخرى لقياس مدى تباعد أو تقارب البيانات من بعضها البعض أو من متوسطها، تسمى هذه المقاييس بمقاييس التشتت.
ما معنى التشتت؟.
تشتت بيانات ظاهرة ما يقصد به درجة أو مقدار التفاوت أو الاختلاف بين مفردات هذه الظاهرة، وتعتبر بيانات الظاهرة متجانسة عندما تكون قيمتها قريبة من بعضها البعض ونقول في هذه الحالة أنها غير مشتتة. أما إذا كانت بيانات الظاهرة متباعدة وغير متجانسة فنقول أن مفردات الظاهرة مشتتة وغير مركزة. ويقاس تشتت البيانات بعدة مقاييس منها:

أولا – المدى (المطلق)


المدى لمجموعة من البيانات هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة لها ويرمز له بالرمز R.
المدى= أكبر قيمة – أصغر قيمة.
أما المدى للتوزيعات التكرارية فيحسب بعدة طرق منها:
المدى = مركز الفئة الأخيرة – مركز الفئة الأولى
المدى = الحد الأعلى لفئة الأخيرة – الحد الأدنى للفئة الأولى
مثال1:
أوجد المدى للبيانات التالية: 30،28،22،18،12.
الحل: المدى = أكبر قيمة – أصغر قيمة
= 30-12=22.
مثال2:
أوجد المدى للبيانات التالية 17،20،65، -4.19،18،04
الحل:
المدى = 65 –(-4) = 69.
نلاحظ المدى في هذا المثال قد تأثر بشكل كبير جدا بالقيم المتطرقة، إذ نلاحظ أن معظم البيانات متقاربة باستثناء القيمة 65 والقيمة (4-)، فإذا استبعدنا هذه القيم المتطرفة فإن المدى يصبح
R = 20-14=6.
وبسبب هذا العيب فإن المدى كمقياس للتشتت لا يستخدم إلا عندما نرغب في مقياس تقريبي وسريع لتشتت البيانات دون الاهتمام بالدقة في المقياس، أو عندما يكون للبيانات المتطرفة أهمية خاصة كتوزيعات درجات الحرارة على سبيل المثال، حيث تعلن درجات الحرارة اليومية بحدها الأقصى وحدها الأدنى خلال اليوم، كما يشيع استخدام هذا المقياس في حالات مراقبة جودة الإنتاج أو متابعة المبيعات التي يحققها رجال البيع لمؤسسة ما.
أما إذا أردنا أن نقلل من أثر القيم المتطرفة فإننا نقوم باستبعادها ويمكن أن يتم ذلك باستخدام الطرق التالية:
* المدى الربيعي = الربيع الثالث – الربيع الأول.
* المدى العشري = العشر التاسع – العشر الأول.
* المدى المئيني = المئين 99 – المئين الأول.
خواص المدى:
1 – يتصف المدى بسهولة حسابه.
2 – يعتمد في حساب على قيمتين فقط هما القيمة الكبرى والقيمة الصغرى.
3- بسبب الخاصية الثانية فإن المدى شديد التأثر بالقيم المتطرفة.

ثانيا: الانحراف المتوسط L’écart moyen:


لأن مقاييس التشتت هي مقاييس لقوة تجمع البيانات حول بعضها، وحيث أن التجمع يكون حول القيم المتوسطة، فإنه إذا كان مقدار الاختلاف بين القيم ومتوسطها كبيرا دل ذلك على أن التشتت كبير والعكس صحيح.
وحيث أن مجموع الاختلافات (الانحرافات) عن المتوسط يساوي صفرا (*) فإنه لو حسبنا القيم المطلقة لمقدار الاختلاف عن المتوسط يكون متوسط هذه الاختلافات مقياسا مناسبا لمقدار التشتت، يسمى هذا المقياس بالانحراف المتوسط.
ويعرف الانحراف المتوسط بأنه المتوسط الحسابي للقيم المطلقة لانحرافات القيم عن متوسطها الحسابي، وسوف نرمز للانحراف المتوسط في دراستنا بالرمز Ex وعليه:




ويعتبر الانحراف المتوسط أفضل من سابقه (المدى) لأنه أقل تأثر بالقيم المتطرفة غير أنه لا يستعمل بشكل واسع بسبب اعتماده على القيمة المطلقة لانحرافات القيم عن متوسطها الحسابي.


خواص الانحراف المتوسط:
1- يعتمد في حسابه على جميع القيم وليس على القيمة الكبرى والصغرى فقط.
2- لا يمكن حسابه في حالة التوزيعات التكرارية المفتوحة.
3- يتأثر بالقيم المتطرفة، لأن انحرافها عن المتوسط الحسابي يكون كبيرا.

ثالثا - التباين والانحراف المعياري La variance et l’écart type :


أ – التباينLa variance:
وهو عبارة عن المتوسط الحسابي لمربعات الفروق بين قيم المتغير الإحصائي ومتوسطها الحسابي، ونستخدم مربعات الفروق هنا تفاديا لاستخدام القيم المطلقة كما هو الشأن في الانحراف المتوسط.
فإذا كانت لدينا البيانات التالية: X1,X2,X3,X4 …….Xn
فإن التباين لهذه البيانات يعطي بالعلاقة

المتوسط الحسابي:
التباين:
في بعض الأحيان عندما يكون المتوسط الحسابي للبيانات عبارة عن كسر، فإن عملية حساب التباين تكون مضنية وعرضة للأخطاء الحسابية لذلك فإنه تم تطوير طريقة مختصرة لحساب التباين.
طريقة مختصرة لحساب التباين:
انطلاقا من العلاقة المتوصل إليها سابقا:
يمكن كتابة



ومنه (*)




أما في حالة البيانات المبوبة فإن العلاقة تصبح

ب – الانحراف المعياري:
ويعتبر الانحراف المعياري من أهم المقاييس الإحصائية للتشتت، وهو أكثر استخداما في النظريات والقوانين الإحصائية، لأنه يعطي فكرة سليمة ومنطقية عن ظاهرة التشتت، ويعرف الانحراف المعياري بأنه الجذر التربيعي لمتوسط مجموع مربع انحراف القيم عن متوسطها، أي أنه الجذر التربيعي للتباين.
سوف نرمز للانحراف المعياري في دراستنا بالرمز (Sx).




الانحراف المعياري لبيانات مفردة(**)

الانحراف المعياري لبيانات متكررة أو مبوبة
أما الصيغة المختصرة للانحراف المعياري فتعطى بالعلاقات التالية:
الانحراف المعياري لبيانات مفردة
الانحراف المعياري لبيانات متكررة أو مبوبة

خصائص الانحراف المعياري:
1 – إذا كان الانحراف المعيار للقيم X1,X2,X3,X4 …….Xn هو Sx
فإنه إذا أضيفت أو طرحت قيمة ثابتة (a) إلى أو من جميع القيم فإن الانحراف المعياري لا يتغير

بتربيع الطرفين
بضرب الطرفين في (n)
نطرح قيمة ثابتة (a) من جميع القيم فنحصل على قيم جديدة yi= Xi -a


ومنه


2 – إذا كان الانحراف المعياري للقيم X1,X2,X3,X4 …….Xn هو Sx
فإنه إذا ضربت كل قيمة بالمقدار a (قسمت كل قيمة على المقدار a) فإن الانحراف المعياري يتأثر بالمقدار نقسه أي أنه إذا كان yi=axفإن





ومنه
3 – بالنسبة للتوزيع الطبيعي فإن:
* 68.27% من البيانات تقع في المجال
* 95.45% من البيانات تقع في المجال
* 99.73% من البيانات تقع في المجال

4 – يأخذ الانحراف المعياري نفس وحدة القياس للمتغير الأصلي (كلغ، متر، لتر ....) لذلك لا يمكن استخدامها كأساس للمقارنة بين تشتت توزيعين لهما وحدات قياس مختلفة.
5 – بما أن الانحراف المعياري يتأثر بالمتوسط الحسابي لبيانات الظاهرة فإنه لا يمكن استخدامه للمقارنة بين تشتت بيانات توزيعين لهما متوسط حسابي مختلف ولو كان هذين التوزيعين من نفس النوعية
6 – لا يمكن إيجاده بالنسبة للتوزيعات التكرارية المفتوحة من البداية أو النهاية.

7 – إذا كان لدينا مجموعة كلية متكونة من مجموعتين جزئتين أو أكثر فإنه يمكن حساب الانحراف المعياري لها من خلال العلاقة التالي:



رابعا - معامل الاختلاف Coefficient de variation:


رأينا في الصفحات السابقة أن الانحراف المعياري هو مقياس واقعي ومؤشر صحيح عن مقدار التشتت غير أن الخاصيتين 4و5 السابقتين تبينان أنه إذا استخدمنا هذا المقياس للمقارنة بين تشتت ظاهرتين أو أكثر فإن المقارنة تكون واقعية وواقعية فقط إذا كانت الظواهر من نوعية واحدة ولها متوسطات متساوية. أي يمكن مقارنة تشتت درجات مادة ما بدرجات مادة أخرى أو مقارنة تشتت دخل مجموعة من العمال بدخل مجموعة أخرى، وتكون المقارنة أكثر واقعية إذا كانت المتوسطات متساوية أو قريبة من بعضها.

الانحراف المعياري



المتوسط الحسابي



× 100


أما إذا كانت الظواهر من صفات مختلفة أو إذا كانت متوسطاتها متباعدة، فإن المقارنة اعتمادا على الانحراف المعياري ستكون غير منطقية وغير واقعية، ولهذا السبب وجدت مقاييس أخرى سميت مقاييس التشتت النسبي تعتمد على تمييز البيانات وتقيس التشتت كنسبة مئوية للمتوسط، أهم هذه المقاييس هو معامل الاختلاف.
معامل الاختلاف =
[center]

مثال7:
إذا كان متوسط درجات مجموعة من الطلبة في مادة ما هو 15 بانحراف معياري 3 ومتوسط درجاتهم في مادة أخرى هو 8 بانحراف معياري 2، فأي الدرجات في نظرك أكثر تشتتا؟


الحل:
إذا اعتمدنا على الانحراف المعياري فإننا نحكم على أن درجات المادة الأولى أكثر تشتتا (Sx =3) من درجات المادة الثانية (Sx =2)، وهذا غير صحيح لأننا إذا أدخلنا المتوسط الحسابي لدرجات الطلبة في المادتين في الحسبان سنحصل على النتائج التالية:

أي أن درجات المادة الثانية أكثر تشتتا
مثال8:
ينتج مصنع نوعين من المصابيح الكهربائية، فإذا علمت أن المتوسط الحسابي والانحراف المعياري لعمر المصباح في كل نوع هما:
300 ساعة = Sx1 1500 ساعة
325 ساعة = Sx2 1800 ساعة
أي المصابيح لها مدة حياة أكثر تشتت؟
الحل:
معامل الاختلاف للنوع الأول:
معامل الاختلاف للنوع الثاني:



أي أن النوع الأول من المصابيح الكهربائية لها مدة حياة أكثر تشتتا.






تمارين الفصل الثالث



التمرين الأول:

أحسب الانحراف المتوسط من الجدول التكراري الآتي الذي يبين العمر الذي أصيب فيه 100 شخص بمرض السكري لأول مرة؟

العمر بالسنة
0-10
10-20
20-30
30-40
40-50
50-60
60-70
70-80
80-90
المجموع
العدد
1
3
10
14
18
34
12
6
2
100




التمرين الثاني:
إذا كانت درجات 30 طالب في أحد الاختبارات كالتالي:

الدرجة
4
6
7
9
10
العدد
6
8
10
4
2


أوجد متوسط درجات هؤلاء الطلبة والانحراف المعياري؟
التمرين الثالث:
الجدول الآتي يبين أرباح الشركتينX، Y لفترة ما بملايين الدينارات، أي الشركتين أفضل في نظرك ولماذا؟

الشركة X
10
50
45
65
10
الشركة Y
40
30
35
40
35


التمرين الرابع:
في دراسة قام بها أحد الباحثين تبين أن متوسط دخول عمال وحدة الشرق لمؤسسة ما قبل الضريبة وصل إلى 251 ألف دينار بانحراف معياري 32.5 ألف دينار.
المطلوب:
1) كيف سيتغير متوسط دخل العمال والانحراف المعياري إذا فرضت ضريبة موحدة على جميع العمال قدرها 12.5 ألف دينار؟.
2) كيف سيتغير متوسط دخل العمال والانحراف المعياري إذا فرضت ضريبة بمعدل 12.5% على كل العمال؟.
3) إذا علمت أن متوسط دخول عمال وحدة الغرب والانحراف المعياري لدخولهم بلغت 150.5 ألف دينار و45 ألف دينار على التوالي، وأن عمال وحدة الغرب لهذه المؤسسة يمثلون ( ) مجموع عمال المؤسسة، أحسب متوسط دخول كل عمال المؤسسة والانحراف المعياري لهذه الدخول؟.
التمرين الخامس:
إذا كان متوسط درجة الحرارة لمدينة ما هو 25°م بانحراف معياري 3°، أوجد المتوسط والانحراف المعياري بالدرجات الفهرنهايتية إذا كانت العالاقة بينهما هي:
الدرجة الفهرنهايتية = (32+1.8 الدرجة المئوية).
التمرين السادس:
إذا عملت أن معامل الاختلاف لإنتاج أحد المصانع في فترة ما هو 20%، أوجد عدد أيام هذه الفترة إذا كان الانحراف المعياري للإنتاج هو 10 ومجموع إنتاج الفترة يساوي 500 وحدة؟.

حل التمرين الثالث:

Xi
Xi²
Yi
Yi²
10
50
45
65
10
100
2500
2025
4225
100
40
30
35
40
35
1600
900
1225
1600
1225
180
8950
180
6550



متوسط أرباح الشركة (X)
متوسط أرباح الشركة (Y)


على الرغم من أن متوسط أرباح الشركتين متساوي خلال الفترة إلا أن أرباح الشركة (Y) أقل تشتتا (أكثر استقرار) من أرباح الشركة (X) وهذا ما يجعل الشركة (Y) أفضل بالنسبة للمستثمرين.
حل التمرين الرابع:
1) نعرف من خواص الانحراف المعياري أنه إذا أضيفت قيمة ثابتة (أو طرحت قيمة ثابتة) لجميع بيانات الظاهرة فإن الانحراف المعياري لا يتغير، كما نعرف من خواص المتوسط الحسابي أنه إذا أضيفت قيمة ثابتة (أو طرحت قيمة ثابتة) لجميع قيم الظاهرة فإن المتوسط الحسابي لبيانات الظاهرة يزداد (أو ينقص) بنفس القيمة، وبالتالي:
عند فرض ضريبة ثابتة (t) فإن قيم الظاهرة تصبح

Yi= Xi-t



ومنه فإن متوسط الأجور بعد فرض يصبح



أما الانحراف المعياري للدخول الجديدة
Sy=Sx = 32.5
أي أن عند فرض ضريبة موحدة على جميع العمال قدرها 12.5 ألف دينار فإن متوسط الدخول يصبح 112.5 ألف دينار بانحراف معياري 32.5 ألف دينار.
2) نعرف من خواص الانحراف المعياري أنه إذا ضريت جميع قيم الظاهرة (قسمت جميع بيانات الظاهرة) في قيمة ثابتة (a)، فإن الانحراف المعياري يضرب (يقسم على) في نفس القيمة، كما نعرف من خواص المتوسط الحسابي أنه إذا ضربت (قسمت) جميع قيم الظاهرة في قيمة ثابتة ، فإن المتوسط الحسابي يضرب في (يقسم على) نفس القيمة، وبالتالي:

عند فرض ضريبة بمعدل ثابت فإن
ومنه
بالتعويض عن قيمة t

ومنه فإن متوسط الأجور بعد فرض الضريبة يصبح



أما الانحراف المعياري فيصبح
أي أنه إذا فرضت ضريبة بمعدل موحد t=12.5% على جميع العمال فإن متوسط أجور العمال يتغير إلى 109375 دينار بانحراف معياري قدره 28437.5 دينار.
3) يمكن تمثيل ما جاء في السؤال الثالث في الشكل التالي:






وحدة الغرب



المؤسسة



وحدة الشرق











عند اعتبار وحدة القياس هي 1000 دينار فإنه يمكن حساب متوسط دخول المؤسسة باستخدام علاقة المتوسط الحسابي المرجح، حيث


أما بالانحراف المعياري فيمكن حساب بالعلاقة التالية:

أي أن متوسط دخل عمال المؤسسة ككل هو 142 ألف دينار بانحراف معياري قدره 42972 دينار.
حل التمرين الخامس:
متوسط درجة الحرارة المئوية
متوسط درجحة الحرارة الفهرنهايتية
الانحراف المعياري بالدرجات المئوية °
الانحراف المعياري بالدرجة الفهرنهايتية =
علاقة الدرجة الفهرنهايتية بالدرجة المئوية yi= 1.8 Xi + 32
وبتطبيق خواص المتوسط الحسابي والانحراف المعياري فإن

متوسط درجة الحرارة على سلم فهرنهايت = °
Sy = 1.8 Sx = 1.8x3 =
الانحراف المعياري عندما تقاس الحرارة Sy = 5.4
بمقياس فهرنهايت.



الانحراف المعياري



المتوسط الحسابي



× 100


حل التمرين السادس:
معامل اختلاف =
ومنه عدد أيام الفترة = 10 أيام = n.




) أنظر خواص المتوسط الحسابي.*(



(* ) يفضل العلاقة المختصرة لسهولة الحسابات ولأنها تتعامل مع القيم الأصلية بدلا من انحرافاتها عن المتوسط الحسابي.



(**) في حالة العينات الصغيرة (n
[b][i]